Использование стеклянных активных элементов в лазерах с высокой мощностью часто лимитируется разрушением стекла во время импульса. Такое разрушение, как правило, связано с присутствием в стекле частиц второй фазы, металлических (обычно платины) или оксидных.
Рассмотрим результаты исследования стекла, активированного неодимом, разрушенного после импульса длительностью 10в-8 сек. Наблюдались места с наибольшими повреждениями, где разрушение состоит из дискообразной трещины, плоскость которой наклонена на 10/15° к направлению луча. Области более интенсивного разрушения состоят из двух главных трещин, имеющих форму гиперболоидов с большим углом между ветвями и вершиной в предполагаемом месте начала разрушения у включения. Одна из этих трещин обычно больше другой и анизотропия одинакова для всех трещин по длине образца. Еще более интенсивное разрушение состоит из обоих типов трещин и мелких трещин, расположенных звездообразно у начала разрушения и имеющих форму лепестков.
Расчет температуры. Если предположить, что включения имеют сферическую форму и находятся под действием гидростатического напряжения, то следует ожидать распространения трещин в направлениях, нормальных к направлению максимального растягивающего напряжения, т. е. нормально к поверхности включения и появления дискообразных трещин. Однако при этом равновероятны все ориентировки таких трещин, что не согласуется с результатами эксперимента.
Лазерный луч, падая на одну сторону включения, не создает гидростатического напряженного, состояния. Экспериментально можно также доказать испарение частиц платины при разрушении стекла, в частности было обнаружено возникновение слоя платины на внутренних поверхностях разрушения.
Ниже, при теоретическом рассмотрении предполагается, что на стекло, содержащее сферические металлические включения, падает с одной стороны импульс лазера с прямоугольным распределением энергии во времени. При численных оценках предполагалось, что плотность энергии в импульсе составляет 20 дж/см2 и длительность импульса равна 30 нсек.
Для изолированных идеально теплопроводимых частиц средняя температура оценивается без учета тепловых потерь в стекле. Без учета фазовых переходов эта температура может быть записана как
где ελ — спектральная эмиссионная способность, J — поток энергии, t — время, Cv — теплоемкость на единицу объема, R — радиус включения, I — индекс для изолированного включения. Для случая платиновых включений с плотностью энергии луча 20 дж/см2 это уравнение сводится к следующему:
где Riμ — радиус включения в микронах.
Учитывая, что стандартная скрытая теплота плавления платины соответствует повышению температуры до 800°С, а стандартная теплота испарения — повышению температуры до 21 000°С, можно учесть влияние этих фазовых переходов, если предположить, что они происходят при равновесных температурах. Тогда уравнение (9.107) приобретает вид
где TM — температура плавления, Tв — температура испарения.
Если построить графическую зависимость температуры от радиуса частицы, то можно видеть, что очень высокие температуры, достигающие температуры испарения, возникают при частицах размером в несколько микрон.
При учете тепловых потоков от частиц к стеклу радиационными потерями можно пренебречь, так как, например, для платиновых частиц термическое равновесие со световым импульсом при потоках 0,7 дж/см2 достигается только при температурах, превышающих 75000°K, а радиационные потери с температурой уменьшаются, как Т4.
Таким образом, можно считать, что основным механизмом передачи тепла является теплопроводность. Кроме того, можно пренебречь тепловым сопротивлением на поверхности раздела металлической частицы со стеклом, так как тепловое распределение частицы во время действия светового импульса создает на этой поверхности хороший контакт. Результирующее выражение для температуры имеет вид
где D — коэффициент термодиффузии, q= (3Cvg/Cvi), m=[q(q—4)]1/2, индекс g относится к стеклу. При выводе уравнения предполагалось, что q≥4.
Частный случай уравнения (9.109) для очень короткого импульса или очень большого радиуса частицы, т. е. Ri≥(Dgt)1/2 имеет вид
Для данного импульса (малых размеров частиц) Ri≤(Dgt)1/2 и уравнение может быть представлено рядом
При типичных значениях Dg=3*10в-3 см2/сек и времени импульса t=30*10в-9 сек эти предельные выражения справедливы для размеров частиц гораздо больших и гораздо меньших, чем 1000 А.
Особый интерес представляет распределение температуры в стекле вокруг частицы, которое может быть записано, как
где х — радиальное расстояние от поверхности частицы. Если частицы состоят из платины, а стекло имеет теплофизические параметры, типичные для стеклянных стержней лазера, то выражения (9.109) приобретают вид
где Riμ — радиус включения в микронах, Jn — поток в дж/см2*нсек. По этим уравнениям построена кривая зависимости температуры от радиуса частицы для уровня потока 0,7 дж/см2*нсек и времени импульса 30 нсек. Из анализа кривой видно, что частицы пластины с размерами в интервале от 100А до нескольких микрон могут нагреваться до температур, превышающих стандартную температуру испарения пластины (4100°К). Наиболее высокой температуры можно ожидать в конце импульса лазера, с увеличением уровня потока температура линейно растет. В предельном случае больших частиц температура зависит только от общей плотности энергии (Jt), падающей) на частицы, при малых частицах эта зависимость имеет более сложный характер, температура данной частицы при большом потоке и малом времени выше, чем при малом потоке и данном импульсе при той же плотности энергии. Интервал размеров частиц между этими предельными случаями возрастает с ростом времени импульса.
По тем же уравнениям построено распределение температуры с расстоянием в стекле для частицы размером 500 А. Из графика видно, что существует значительный объем стекла, имеющий температуру выше 1000°С. Толщина этой зоны несколько возрастает с ростом размеров частиц.
Рассмотрим эффект конечной теплопроводности металлических частиц путем анализа составного твердого тела, состоящего из двух полубесконечных пластин с потоком J через границу. В этом случае температура дается выражением
где x — расстояние от границы в сторону материала частицы, i erfc y=п1/2ехр (-у2)-у erfc у. Подставляя теплофизические параметры материала для платины и стекла, получаем для температуры на поверхности частицы
Для уровня потока 0,7 дж/см2*нсек температура в конце импульса длительностью 30 нсек достигает 25000°K. Профилю температуры внутри частицы при тех же условиях после импульса можно описать уравнением
Анализ соответствующей кривой показывает, что, когда температура поверхности очень высока, она опускается ниже температуры испарения на глубине 2 мкм. При этом рассмотрении пренебрегали эффектом конечного размера частиц. Следует, однако, предусмотреть термическое поведение стекла с большими частицами, для которых 2Ri≥(Dit)1/2. Для случая частиц платины и длительности импульса 30 нсек это соответствует 2Ri≥0,9 мкм. В этом случае температура поверхности будет значительно выше температуры испарения даже в том случае, когда средняя температура частицы ниже температуры испарения.
Расчет напряжений. Рассмотрим напряженное состояние частиц и стекла при действии светового импульса. Сначала пренебрежем эффектами фазовых переходов и примем, что коэффициент термического расширения и теплоемкость частицы не зависят от температуры, а также, что увеличение объема частиц при нагреве не зависит от распределения температур внутри частицы. Тогда изменение объема частицы:
где α — коэффициент линейного теплового расширения. Количество тепла в частице равно
поэтому увеличение удельного объема частицы прямо пропорционально Qi и, следовательно, средней температуре частицы, полученной из уравнений (9.106) или (9.109). Этот результат важен, так как напряженные состояния в частице и стекле могут быть прямо связаны с ΔV/V и, следовательно, с αiT.
Для анализа можно воспользоваться решением задачи Эшелби о сфере радиусом (R+ΔR), помещенной в полость размером R в бесконечном упругом теле (матрице). Из решения следует, что растягивающее напряжение в матрице имеет наибольшую величину на периферии включения, направлено тангенциально к включению и равно
Давление во включении и радиальное сжимающее напряжение в матрице у периферии равно удвоенной величине этого растягивающего напряжения. Для платиновых включений в стекле:
Величина этого напряжения падает, как 1/2в3, где r — расстояние от центра включения.
Теоретическая прочность материалов имеет порядок 0,1 Е, где E — модуль упругости, что для большинства стекол соответствует 10в6**0,07 кГ/см2. Фактически такая прочность наблюдается только у нитевидных кристаллов, а у стекол без трещин и пузырей она не превышает (2/4)*10в4 кГ/см2, так что в качестве максимальной прочности стекла у включения можно принять величину 4*10в4 кГ/см2.
При этом условии средняя температуры включения Т, необходимая для разрушения, составляет Т≈10000°K, и из построенных графиков можно видеть, что разрушение при мощности светового импульса 0,7 дж/см2*нсек будет происходить в стеклах с радиусом включений от 300 А до 2 мкм и не будет происходить при частицах большего и меньшего диаметра.
При этих вычислениях предполагалось изостатическое напряженное состояние в частицах. Наблюдения морфологии трещин показывают, что это предположение обычно не выполняется, так что расчеты имеют приближенный характер. Кроме того, не учитывались повышение температуры в тонком слое стекла, прилегающем к частице (и особенно существование тонкого слоя расплавленного стекла, ведущего себя как жидкость, а не как твердое тело), поглощение тепла при фазовых переходах, изменение свойств материала с температурой.
Существование слоя расплавленного стекла проявляется в существенном снижении растягивающего напряжения и уменьшении склонности к разрушению, во всяком случае, для частиц малых размеров (R2i≤Dgt). Оценка этого эффекта может быть произведена на основе расчета распределения температуры в стекле вокруг включения (уравнение (9.109 в)). Интервал температур, в котором можно ожидать существование жидкой фазы, может быть оценен на основе времени релаксации по Максвеллу (η/Gg), которое для времени импульса 30 нсек соответствует уровню вязкости 10в4 пз; для типичного стекла такая вязкость достигается при температуре 100°С.
Таким образом, в качестве физической модели состояния материала можно принять металлическое включение, окруженное слоем жидкого стекла, в свою очередь окруженного твердым стеклом с переходом между жидкой и твердой фазой при 1000°C.
При переходе от стекла к жидкости в системах неорганических окислов коэффициент теплового расширения и теплоемкость возрастают в 2—3 раза. Если принять, что они возрастают одинаково, то оказывается, что влияние более высокого коэффициента теплового расширения в жидкости компенсируется меньшим понижением температуры при том же тепловом потоке и результирующее влияние этих параметров на напряжение оказывается тем же, что и для твердого стекла.
При оценке напряжений также можно принять, что αg=αi и Cvg=Cvi (в действительности Cvg=1,3 Cvi). Тогда, используя значение среднего модуля упругости включения, промежуточное между величинами модуля для платины и жидкого стекла, можно с помощью уравнения (9.14) оценить приближенно напряжение в стекле на границе между жидкой и твердой фазами:
В этом соотношении Qt — общая энергия падающего светового импульса, абсорбированная частицей, Ra — радиальное расстояние от центра частицы до границы между твердым и жидким стеклом.
Предполагается, что количество тепла снаружи сферы радиусом Ra пренебрежимо мало по сравнению с теплом, аккумулированным внутри этой области. При таких предположениях растягивающее напряжение в стекле на границе между твердым и жидким стеклом вокруг платинового включения радиусом 500 А при J = 0,7 дж/см2*нсек и t = 30 нсек будет составлять всего 10в4 кГ/см2, т. е. материал вокруг такого включения не разрушится в противоречии с проведенными выше оценками, не учитывающими роли жидкого слоя. При данных значениях уровня потока и времени импульса наименьший радиус частиц платины, приводящий к разрушению стекла, составляет 1000 А, т. е. более чем в 3 раза превышает полученную выше величину 300 А.
Максимальное растягивающее напряжение линейно возрастает с уровнем потока, поэтому минимальный размер частиц, вызывающих разрушение, должен уменьшаться с уровнем потока. Учет слоя жидкого стекла усложняет форму этой зависимости, например, увеличение уровня потока в 3 раза до 2,1 дж/см2*нсек уменьшает минимальный опасный радиус частиц в 2 раза (до 500А при длительности импульса 30 нсек).
Вследствие быстрого уменьшения напряжения с ростом расстояния от частицы трещины, возникшие при действии светового импульса, могут распространяться в стекле лишь на небольшие расстояния. Затухание напряжений с расстоянием более ясно выражено для частиц меньшего размера, так как напряжение падает по закону R3а/(Ra+Δ)3, где (Ra+Δ) — расстояние от центра частицы до рассматриваемой точки в твердом стекле. Например, для частиц радиусом 1000 А и 2 мкм при времени импульса 30 нсек напряжение на границе твердой и жидкой фаз практически одинаково, а для расстояния 10 мкм от центра для частицы диаметром 500 А напряжение падает в 10в5 раз, в то время как для частицы размером 2 мкм — всего в 10в2 раз.
Остановка роста трещины происходит, когда напряжение у конца трещины становится меньше, чем теоретическая прочность стекла. Это условие может быть выражено
где σ1 — растягивающее напряжение на расстоянии Rа от центра включения, σth — теоретическая прочность стекла, b — радиус кривизны конца трещины, составляющий несколько межатомных расстояний.
Для случая частиц меньших, чем 1 мкм, и напряжений на границе твердой и жидкой фаз, не превышающих Sσth, это соотношение показывает, что размер трещин не превышает 10 мкм. Такие трещины намного меньше наблюдаемых и во многих случаях их не удается обнаружить. Создание сетки мелких трещин облегчает разрушение при действии последующих световых импульсов, что объясняет экспериментально наблюдаемое явление «световой усталости» стержней для активных элементов лазеров.
При некоторых условиях трещины могут расти на значительно большем расстоянии даже при дайствии единичных световых импульсов. Например, если материал частицы проникает в длинную и тонкую трещину, то давление в частице снимается незначительно и частица оказывает расклинивающее действие на трещину.
Из приведенных вычислений следует, что при размерах частиц в интервале между 1000 А и 2 мкм при рассматриваемых условиях облучения (20 дж/см2, 30 нсек) может произойти значительное разрушение при облучении несколькими световыми импульсами. При меньших размерах частиц разрушения не будет из-за потерь тепла в стекле, при больших размерах частиц в предположении об их идеальной теплопроводности разрушения также не будет из-за относительно большого поглощения тепла частицами.
Однако, как было показано выше, при размерах частиц более 1 мкм очень важным является влияние градиентов температуры. Например, поверхностная температура больших частиц может достигать 10в4 ° К, в то время как средняя их температура сравнительно невелика. При этих условиях напряжения, достаточные для разрушения, могут возникать из-за высоких температур в поверхностных слоях частицы и оценка этих напряжений может быть проведена исходя из диаграммы состояния при высоких температурах и давлениях.
Влияние фазовых переходов. При всех предшествующих расчетах мы пренебрегали эффектом фазовых переходов в материале частицы. При плавлении частицы влияние этого эффекта на результаты вычисления напряжений невелико.
Если использовать энергетические и тепловые параметры для описания плавления в стандартных условиях, оказывается, что поглощение тепла в процессе плавления приводит к уменьшению температуры частицы и, следовательно, напряжений, но этот эффект почти целиком компенсируется увеличением объема при плавлении, приводящим к увеличению напряжений. Из величин теплоты плавления и теплоемкости платины следует, что плавление требует такого же количества тепла, как нагрев на 800°С. Из величины коэффициента теплового расширения следует, что изменение объема при таком нагреве составляет 2,2% по сравнению с 3% при плавлении.
Если рассматривать процесс испарения, задача значительно усложняется, так как частицы могут находиться под давлением в отсутствие межфазной границы жидкость — газ. Частицы окружены стеклом, и если происходит испарение материала частиц, то материал частицы переходит в газ с очень высокой плотностью, близкой к плотности жидкой фазы. Жидкая и газообразная фазы одинаковой плотности имеют близкие теплофизические характеристики, поэтому скрытая теплота испарения при стандартных условиях должна представлять избыточную поглощенную энергию при этих условиях.
При отсутствии границы жидкой и газообразной фаз возможен значительный перегрев жидкости выше точки кипения, поэтому можно ожидать значительный перегрев частиц. Оценку возможной величины перегрева можно провести на основе выражения для зарождения конденсированных частиц в газовой фазе:
