В теоретической модели Коннерса и Томпсона все абсорбционные процессы характеризуются одним параметром, который можно рассматривать как меру по некоторой окрестности абсорбции. Этот параметр можно оценить путем анализа экспериментальных данных. Предполагается, что не происходит заметной абсорбции вне области фокусировки; последнюю можно представить в виде сферы с диаметром, равным нескольким диаметрам диска Эри, так что вся энергия лазерного луча попадает в эту область.
Рассмотрим задачу о термоупругих волнах в первоначально прозрачном твердом теле, которое по предположению абсорбирует энергию фокусируемого лазерного луча в сферически симметричной области вокруг точки фокусировки луча. Воспользуемся условием симметрии, формулируя задачу в сферических координатах (r, υ, φ). При этих условиях мы можем предположить, что компоненты перемещений ui выражаются через скалярный потенциал Ф следующим образом:
В отсутствие массовых сил уравнения термоупругих волн в перемещениях при использовании тензорных обозначений имеют вид
где λ и μ — константы Ламе, ρ — плотность и β=(3λ+2μ)λ, причем α — коэффициент теплового расширения. Поле температур обозначается символом T и используются обычные условности тензорного анализа, такие, как суммирование по повторяющимся индексам и обозначение при помощи запятой ковариантного дифференцирования.
Подставляя равенство (9.31) в уравнение (9.32) и меняя порядок ковариантного дифференцирования, получаем
Интегрируя уравнение (9.33), полагая константу интегрирования (температуру окружающей среды) равной нулю и вводя обозначение
где с — скорость расширения волны, получаем неоднородное волновое уравнение
Затем определяем функцию T и решаем уравнение (9.35) относительно Ф. В силу сферической симметрии имеем
Определение функции T =T(r, t). Поскольку термоупругие волны (9.35) возникают в результате существования поля температуры, генерируемого лазером, мы используем несопряженную теорию, в которой не учитывается повышение температуры из-за деформирования среды, так что в уравнении энергии не будет фигурировать скорость изменения тензора деформаций. Таким образом, поле температуры выражается через абсорбируемую энергию лазера при помощи уравнения теплопроводности:
где q — распределенный по объему источник тепла, с — теплоемкость единицы объема.
Величина с считается константой, хотя, вообще говоря, это не соответствует действительности. Такое упрощение до некоторой степени оправдано тем фактом, что для возникновения трещины необходим относительно малый рост температуры. В предположении о пренебрежимо малой теплопроводности можно положить: γV2T=0. Допустимость такого приближения для лазерного импульса подтверждается расчетами Зейкера. Величина q связана с интенсивностью локального излучения I уравнением абсорбции. Таким образом, запишем
где I — поток энергии через единицу площади, ξ — линейный коэффициент поглощения, имеющий размерность обратной длины. Заметим, что коэффициент ξ не является, однако, просто классическим коэффициентом поглощения, так как он учитывает эффекты нелинейных абсорбционных процессов, которые становятся существенными при высоких интенсивностях облучения.
Согласно теории дифракции представляется разумным аппроксимировать интенсивность лазерного излучения в области фокуса следующей сферически симметричной функцией:
Величина v представляет собой параметр линзы и задается равенством:
где а — радиус диафрагмы фокусирующей линзы, f — ее фокусное расстояние, λ1 — длина волны света рубинового лазера.
Временная зависимость f(t) определяется формой лазерного импульса. На деле эта аппроксимация предполагает такое же распределение интенсивности на всех плоскостях, проходящих через фокус как и в фокальной плоскости. Пренебрегая начальным очень малым временем нарастания, временную зависимость интенсивности для импульса лазера с модулированной добротностью можно аппроксимировать косинусоидой при условии, что аргумент косинуса изменяется в пределах 0≤ωt≤п/2.
Таким образом, при использовании приближенных пространственной и временной зависимостей равенство для интенсивности приводится к виду
Комбинируя уравнения (9.37), (9.38) и (9.41) и используя условие нулевой теплопроводности, приводим выражение для T (r, t) к виду:
Чтобы получить искомое выражение для поля температуры, проинтегрируем уравнение (9.42), положив постоянную интегрирования (температуру окружающей среды) равной нулю:
Теперь можно выразить коэффициент в уравнении (9.43) в виде
и обозначить через Qt полную энергию лазерного импульса. Максимум интенсивности I(0, 0) = I0 можно выразить через максимум потока импульса энергии Ep, т. е. I0 = (πа2Ер/λ1f2). Также ясно, что поток полной энергии, проходящий через диафрагму, есть E = Epcosωt. Таким образом, полную энергию Qт можно выразить в виде
где использовано уравнение (9.40) для v.
А. Решение волнового уравнения.
Подставим теперь равенства (9.43) и (9.44) в уравнение (9.35) и решим уравнение
Положим К = βT9/(λ + 2μ) и зададим Ф в виде
Подставляя выражение (9.49) в уравнение (9.48), имеем
Это известное волновое уравнение Гельмгольца, причем k — волновое число. Если размеры образца намного превышают область, на который непосредственно действует лазерный импульс, то мы по существу имеем дело с бесконечной средой. Это позволяет решать уравнение (9.50) методом функции Грина:
Решение волнового уравнения имеет в этом случае вид
В силу предположения о полной сферической симметрии Фр не зависит от координат vp и Фр. Поэтому для определения Фр выбираем путь вдоль оси vp=0; тогда θ→cosvp и решение уравнения (9.50) имеет вид
где нижний индекс р у величины Ф опущен. Дифференциал объема в сферической системе координат будет
Поэтому нужно вычислить интеграл
Сделаем подстановку:
Проинтегрируем уравнение (9.57) по φ0 и выполним отмеченные подстановки. Тогда
Интегрирование по η0 дает
Исключим абсолютные значения экспонент в уравнениях (9.60), представив Ф в виде суммы двух интегралов
Подставляя в уравнение (9.61) значения
Нетрудно проинтегрировать (9.65) и (9.66) и выразить результат через интегральные синус и косинус:
где
Интегрирование выражения (9.57) приводит к следующему результату:
где Si(x) и Ci(х) — соответственно интегральные синус и косинус от х и n=(v/k). Сделаем подстановку:
и выпишем значение Ф = Фsincωt вместе с ее первой и второй производными. Тогда получим
Путем прямой подстановки равенств (9.71)—(9.73) в уравнение (9.48) легко показать, что определенная таким образом функция Ф есть решение уравнения (9.48). Также легко показать, что Ф удовлетворяет двум граничным условиям:
Таким образом, найдено искомое решение волнового уравнения относительно потенциала перемещений; используем его для определения напряжений.
Б. Определение поля напряжений.
Согласно уравнению (9.31), перемещения выражаются в виде
а деформация — в виде
Отсюда получим
Напряжения связаны с деформациями соотношениями
Путем подстановки соотношений (9.72)—(9.77) и выражения (9.78) получаем
Обозначив К=βТ0/(λ+2μ) и использовав уравнение (9.47) для T0, выразим напряжения через полную энергию импульса и коэффициент поглощения. Введем также замену x=kr и n=v/k. Таким образом, формальные решения для напряжений таковы:
где 0≤ωt≤π/2. Для стекла λ≈μ, и эти результаты сводятся к следующему:
В. Определение коэффициента поглощения.
Для определения коэффициента поглощения можно воспользоваться экспериментальными результатами, полученными Херчером. Для удобства представим напряжения в стекле в виде
где F(n, х) и G(n, х) определяются выражениями (9.84) и (9.85). Экспериментальные результаты Херчера показывают, что трещину в стекле от лазера с модулированной добротностью, дающего энергию 0,1 дж, при продолжительности импульса 150 нсек невозможно получить на линзах f/300 или с большим фокусным расстоянием.
Таким образом, мы будем считать, что импульс в 0,1 дж, фокусируемый линзой f/300, генерирует максимальное растягивающее напряжение, которое оказывается несколько ниже разрушающего напряжения для стекла и определяет соответствующий коэффициент поглощения
Максимальному растягивающему напряжению, возникающему при фокусировке линзой f/300 импульса 0,1 дж в момент времени ωt=π/2 и при безразмерном радиусе x=0,4, соответствует значение функции G(n, х), равное 7,46.
В предположении, что прочность стекла на растяжение примерно равна 280 кГ\см2, можно определить коэффициент G(n,x) sinωt в уравнении (9.87). Таким образом,
Решая уравнение (9.88) при использовании этих значений, получаем
Опытам Херчера соответствуют напряжения
Хотя эти оценки несколько грубы, они позволяют проиллюстрировать способ применения предлагаемой теоретической модели. Выполняемые в настоящее время эксперименты позволят получить дополнительные данные, необходимые для анализа подобного типа.
В работе приведены графики зависимости радиального напряжения τ1 и кольцевого напряжения τ2 от безразмерного расстояния фокальной точки линзы f/30 (n=78) для импульса с энергией 0,1 дж и продолжительностью 150 нсек. Кривые соответствуют моменту времени ωt=π/2, где временная зависимость задавалась в виде sinωt и 0≤ωt≤π/2. Видно, что трещина, обусловленная кольцевым напряжением τ2 при воздействии импульса, возникает очень рано, в момент 1,2*10в-2, так как ω=10в7 сек-1, в этом случае Процесс разрушения возникает через интервал времени в 1 нсек после начала излучения. Ясно, однако, что это — оценка снизу, так как это время наверняка лежит в интервале времени нарастания реального лазерного импульса. Поэтому желательно провести более реалистическое исследование временной зависимости лазерного импульса, что приведет к оценке времени возникновения разрушения в несколько наносекунд.
Начальное разрушение происходит в точке х=0,04, но, поскольку возникновение разрушения в этой области не может сказаться в другой области и за время, необходимое для возникновения в следующей области разрушающего напряжения, начальное разрушение не должно существенно влиять на напряжения в области другого максимума растягивающих напряжений τ2. Поэтому хрупкое разрушение может происходить в сферических слоях, расположенных в пространстве с интервалом в х=0,04 примерно до значения х=0,4. Это дает объяснение явлению раздробления вещества под действием лазерного излучения. Так как хрупкое разрушение происходит во внешней области до значения х=0,4, диаметр области раздробления составляет примерно
что хорошо согласуется с экспериментальными результатами Херчера для линзы f/32. Радиальные растягивающие напряжения τ1 нигде не достигают значений настолько больших, чтобы вызвать хрупкое разрушение, а потому не представляют особого интереса.
Интересно заметить, что рост температуры в центре диска Эри, необходимый для возникновения разрушения, определяется выражением
Это выражение примерно дает T0=650°С и зависит незначительно от числа f фокусирующей линзы. Тот факт, что T0 относительно мало, можно считать подтверждением предположения о постоянстве величины С в уравнении (9.37). Большая разница между этим значением и указанным Херчером значением T0-5000°K определяется другими эффектами, например эффектами фазовых изменений, которые проявляются после возникновения трещин.
Энергия, абсорбированная в твердой сфере, центром которой служит фокус, а диаметром является диаметр диска Эри, определяется выражением
Таким образом, абсорбированная в этой сфере часть полного импульса энергии определяется соотношением 100 QAIQt (в процентах) и имеет для линзы f/30 следующее значение:
Отсюда видна правильность предположения о том, что абсорбция в области фокусировки не слишком велика.
Следует заметить, что для обычного щелочно-известкового стекла коэффициент поглощения света с длиной волны λ1=6940 А примерно равен ξ=0,01 см-1. Однако, согласно уравнению (9.89), коэффициент поглощения равен 7,61 см-1. Таким образом, видно, что процессы абсорбции, ассоциированные с лазерным разрушением, резко отличаются от явлений классической абсорбции.
Модель возникновения напряженного состояния в стекле при облучении лазером была построена путем рассмотрения сферически симметричного потока энергии в неограниченное начально прозрачное твердое тело в предположении, что четверть цикла такого потока аппроксимирует поток от импульса лазера с модулированной добротностью.
Использование синусоидального потока энергии позволяет преобразовать уравнение бегущих волн в уравнение, допускающее простое решение методом функции Грина. Результаты этого анализа показывают, что возникновение по законам термоупругости напряжений из-за оптического абсорбционного нагрева является возможным механизмом, определяющим разрушение. Нужно заметить, что рассматриваемая абсорбция, однако, не является обычной оптической абсорбцией, а включает в себя энергию, определяемую такими нелинейными эффектами, как рассеяние Бриллюэна.
В силу очень короткого интервала жизни фононов, генерируемых этим процессом, в макроскопической теории кажется оправданным характеризовать переданную энергию объемно-распределенным тепловым источником. Теория не противоречит, например, результатам Уайтмана и Уилсона, которые пришли к выводу, что рассеяние Бриллюэна играет доминирующую роль в процессе разрушения. Основной недостаток данного подхода состоит в том, что он описывает только те явления, которые происходят во время облучения. Поскольку было показано, что при определенных условиях разрушение действительно может происходить во время облучения, поставленная задача оказалась решенной.
Можно, однако, поднять вопрос о применимости такой модели для расчета финитного хрупкого разрушения, поскольку тот факт, что растягивающие напряжения могут продолжать увеличиваться после лазерного воздействия, является результатом фокусировки волн напряжения. Это положение лежит в основе альтернативной теории возникновения хрупкого разрушения, развитой Гилманом и Буллоу для случая цилиндрической геометрии, в которой рассматриваются только механические процессы, происходящие после облучения.
Рассматривается случай взаимодействия твердого тела с интенсивным импульсом излучения. Длительность импульса δ мала по сравнению со временем упругой релаксации в облученной области. В результате действия импульса может произойти внутренний «взрыв», который приведет к образованию большого количества трещин и другим повреждениям в материале.
Постулируется, что в момент времени t=δ≈0 материал внутри цилиндрической области радиуса а подвергается равномерному удлинению вследствие действия облучения. Проведено решение соответствующего уравнения для динамического смещения с сохранением непрерывности при r=а. Получено, что волна разрежения с увеличивающейся амплитудой двигается внутрь облученного материала со скоростью с от поверхности с радиусом а в течение интервала времени 0≤t≤(a/c).
Переходное изменение давления в центре области воздействия луча может быть выражено в аналитической форме и дает отрицательную расходимость при t=(a/c). Давление на различных расстояниях от центра было найдено путем численного интегрирования. Естественно, что необходимо предложить полную теорию финитного разрушения вне зависимости от того, произошло разрушение во время или после облучения.
Возможность различать при эксперименте эти два типа разрушения вполне реальна, поскольку первый должен приводить к несравнимо большему разрушению. После завершения процесса разрушения материал, вероятно, ведет себя подобно расширяющемуся газу, причем развитие радиальных трещин, направленное от фокуса во внешнюю область, происходит до тех пор, пока не будет диссипирована имеющаяся энергия. На этом этапе может еще больше увеличиться оптическая абсорбция среды, по всей видимости, из-за эффектов ионизации.
Одна из возможностей усовершенствования теории связана с учетом более реалистической пространственной зависимости притока энергии. Первый шаг в этом направлении может состоять в решении задачи для эллипсоидальной области притока энергии. Это можно выполнить путем представления функции Грина в виде бесконечной суммы сферических полиномов с последующим поочередным интегрированием всех слагаемых. Решение подобного типа выявит области концентрации напряжений и возможные направления разрушения.
Другое усовершенствование теории может быть связано с рассмотрением модели нелинейной абсорбции, скажем вида q=KI2. Однако направления усовершенствований подобного типа не могут быть полностью определены без учета результатов экспериментальных исследований.
